Teleskopie - díl devatenáctý (Jednoduchý způsob měření úhlových vzdáleností na obloze)

Jednoduché metody těchto měření, které jsou předmětem našeho příspěvku k této tématice, využívají jen jednoduchých zařízení, a proto dovolují řešit jen některé úlohy bez větších nároků na přesnost. V některých případech však mohou i tyto výsledky posloužit k přesnějšímu popisu určitých jevů (dráha solidů v prostoru), k vyhledání komety na obloze apod.

Nejjednodušší úhloměrný nástroj

Přibližné měření úhlů na obloze můžeme uskutečnit nejjednodušeji pomocí své ruky. Vycházíme zde z jednoduché úvahy: úsečku 1 cm dlouhou postavenou kolmo na směr od našeho oka ve vzdálenosti 57,3 cm vidíme pod úhlem téměř přesně 1°.

Obr. 1: Ruka jako jednoduchý nástroj pro odhad úhlových vzdáleností na obloze.

Protože délka natažené ruky od oka k prstové části odpovídá u dospělého člověka přibližně vzdálenosti 58 cm, můžeme potom pomocí palce širokého 2 cm odhadnout úhel 2°. Šířka zavřené pěsti nám pokryje vzdálenost 8°a vzdálenost mezi malíčkem a palce rozevřené ruky představuje 20°. Dosáhnutá přesnost takovýchto měření je nízká, výhodou však je, že úhloměrný nástroj máme vždy po ruce.

Pokud si chceme upřesnit skutečné úhlové hodnoty naší ruky, zjistíme si, jak musíme ruku držet, aby její vzdálenost od oka byla potřebných 57,3 cm, jaká je šířka našeho palce a šířka pěsti.

Obr. 2: Úhlové vzdálenosti jednotlivých hvězd Velkého vozu.

Šířku palce (pěsti) označíme x, vzdálenost od oka v cm označíme y, zjištěný úhel α (viz vzorec 1).

Odhad úhlových vzdáleností pozorováním

Pokud si zapamatujeme vzájemné úhlové vzdálenosti některých hvězd, můžeme tyto poznatky využít při odhadech vzájemné úhlové vzdálenosti jiných objektů. Východiskem zde mohou být např. hvězdy Velkého vozu, který je vždy na obzorem. Pomůžeme si případně papírovým proužkem nebo tenkým kouskem dřeva, který držíme mezi palcem a ukazováčkem v natažené ruce a vysouváme ho postupně mezi prsty tak, až jeho délka odpovídá vzdálenosti vybraných dvou hvězd – např. hvězd α a β, které představují 5,38°. Takto získaným měřítkem můžeme potom přeměřovat vzájemné vzdálenosti jiných objektů.

Je dobré si též zapamatovat, že průměr slunečního disku nebo průměr měsíčního úplňku jsou jen o málo větší než 0,5°.

Měření úhlů jednoduchými přístroji

Z uvedené skutečnosti, že 1 cm ve vzdálenosti 57,3 cm od oka vidíme pod úhlem 1°, vychází i konstrukce jednoduchých úhloměrných přístrojů, které snadno vyrobíme z dřevěných hranolků.

Patří k nim především „měřící hřeben“ čili „nebeské hrábě“.

Obr. 3: „Měřící hřeben“ umožňuje přibližné zjišťování úhlových vzdáleností objektů na obloze.

Na dřevěný hranolek, přibližně 57 cm dlouhý s průměrem 2×2 cm, upevníme na jednom konci kolmou příčku 20 až 30 cm dlouhou ze stejného materiálu. Do něj zatlučeme menší hřebíky nebo špendlíky ve vzájemné vzdálenosti 1 cm. Každý pátý a desátý hřebík necháme trochu víc vyčnívat nad ostatní, aby se usnadnilo odčítání měřených úhlů. Volný konec přístroje držíme u oka tak, aby úhloměrná stupnice byla namířena ke sledovaným objektům při dodržení potřebné vzdálenosti stupnice od oka (57,3 cm). Protože rukojeť „měřícího hřebene“ nepřikládáme přímo k oku, ale držíme ho ve vzdálenosti 2 až 3 cm od oka, musíme volit délku rukojeti o tuto vzdálenost kratší tak, abychom při měření dosáhli vzdálenosti oka od hřebíků 57,3 cm, a tak si zabezpečili přesný výsledek.

Ještě v 18. století se používala pro zjišťování zeměpisné polohy lodí na moři tzv. Jakubova hůl. Na dřevěném hranolku, jehož délka není omezená, se v podélném směru posouvá příčka. Konce této příčky představují vlastní měřítko. Při posouvání této příčky po podélné části zařízení vidíme příčku pod větším, nebo menším úhlem. Při vlastním měření musíme posunout příčku do takové vzdálenosti do oka, aby její konce splynuly s body, jejichž úhlovou vzdálenost zjišťujeme. Na podélné rukojeti Jakubovy hole se nachází stupnice v úhlové míře, jejíž dělení vychází ze vztahu (viz vzorec 2).

Např. 10 cm dlouhá posuvná příčka (x = 5 cm) ve vzdálenosti 60 cm od oka představuje úhel α (2 t.j. 4,78°x2) – tedy přibližně 10°.

Zdokonalenou formou Jakubovy hole je úhloměrné pravítko.

Obr. 4: Detail úhloměrného pravítka s posuvným vizírem (pozn.: termín “vizír” je v textu používán pro označení průzoru).

Jeho základem je pevné pravítko, nejlépe 40 až 50 cm dlouhé. Pro náš účel vyhovuje nejlépe dřevěné pravítko, které se neohýbá. Je možné ho nahradit pravítkem z průhledného plastu, které upevníme malými šrouby na dřevěný hranolek, případně na něm vhodným způsobem naznačíme centimetrovou stupnici.

Na pravítku se stupnicí je umístěna posuvná destička, uprostřed se dvěma výřezy 20 a 2 mm širokými. Při měření posouváme destičku s výřezy postupně po centimetrové škále směrem od oka k opačnému konci tak dlouho, dokud okraje většího (20 mm), nebo menšího (2 mm) výřezu nesplynou s body, jejichž úhlovou vzdálenost zjišťujeme.

Obr. 5: Geometrický princip měření úhlů úhloměrným pravítkem: m) šířka použitého vizíru, d) vzdálenost od oka k vizíru (cm), α – naměřený úhel.

Jestliže známe vzdálenost okrajů výřezů (v našem případě 20, nebo 2 mm) označenou m a hodnotu v cm, kterou nám ukazuje posuvná destička s výřezy na pravítku (d), potom můžeme vypočítat úhlovou vzdálenost obou objektů podle vzorce (viz vzorec 3).

Podle těchto výpočtů je sestavena i tabulka.

Měření Jakubovou holí umožňuje např. sledování dráhy Měsíce mezi hvězdami. K tomuto účelu si vybereme některou jasnou hvězdu v blízkosti Měsíce a vždy po 2 až 3 hodinách změříme jejich vzájemnou vzdálenost. Podle toho, zda se zvolená hvězda nachází od Měsíce směrem na východ, nebo na západ, se bude jejich vzájemná vzdálenost zmenšovat, nebo zvětšovat (Měsíc se pohybuje mezi hvězdami směrem od západu k východu).

Podobně můžeme sledovat i pohyb planet mezi hvězdami. Protože je však tento pohyb mnohem pomalejší, postačí nám potřebné měření uskutečnit jednou za týden. Nezapomínejme však, že pohyb planet mezi stálicemi je mnohem složitější než pohyb Měsíce.

Když chceme určit polohu některého tělesa mezi hvězdami, změříme jeho úhlovou vzdálenost od dvou hvězd, které se nacházejí v blízkosti tohoto objektu a nevytvářejí spolu s ním příliš plochý trojúhelník. Potom si změříme jejich úhlové vzdálenosti. Tyto hvězdy si vyhledáme v hvězdném atlase a podle měřítka atlasu si zjistíme, kolik milimetrů připadá na mapě na 1°. Potom zapíchneme hrot kružítka do místa, kde je zakreslena první hvězda, a opíšeme na mapě oblouk ve vzdálenosti, která odpovídá naměřenému úhlu. Podobně postupujeme i u druhé hvězdy. Tam, kde se nám oba oblouky protínají, se nachází objekt, jehož polohu určujeme. Jeho polohu potom můžeme vyjádřit v běžných souřadnicích II. rovníkové soustavy (v deklinaci a rektascenzi), které z mapy snadno zjistíme.

Můžeme však postupovat i opačným způsobem. Podle polohy tělesa zakresleného na mapě můžeme podle jeho zjištěných úhlových vzdáleností od okolních hvězd přenesených úhloměřným pravítkem na oblohu najít jeho přibližnou polohu.

Měření obzorníkových souřadnic

Úhloměrným pravítkem jsme měřili úhlové vzdálenosti objektů od jednotlivých hvězd, jejichž souřadnice jsme znali.

Můžeme však použít jiný systém, v rámci kterého zjišťujeme polohu objektů na obloze vzhledem ke dvěma základním kružnicím. První z nich je obzorník, který je kruhovitou průsečnicí vodorovné roviny s obzorem, přičemž pozorovací místo je ve středu této roviny. Obzorník je hlavní kružnicí, směrem k nadhlavníku (k zenitu) můžeme vést množství s ním rovnoběžných vedlejších kružnic. Jejich vzájemná vzdálenost od obzorníku, měřená v úhlové míře, se nazývá výška (h).

Druhou základní kružnicí je spojnice, která probíhá od nadhlavníku k jižnímu bodu na obzorníku, dále potom přes podnožník k severnímu bodu a nadhlavníku. Nás však zajímá hlavně ta jeho část, která se nachází mezi nadhlavníkem a jižním bodem, od které vycházíme při našem měřeni. K této čtvrtkružnici, která je místním poledníkem, patří potom další vedlejší čtvrtkružnice procházející dalšími body na obzorníku a zenitem. Jejich vzdálenosti měříme opět v úhlové míře, a to ve směru od jihu k západu, k severu a přes východ opět k jihu. Tuto souřadnici označujeme jako azimut (astronomický azimut).

Poloha každého tělesa má tedy v tomto systému dvě souřadnice, a to výšku (h = 0 až 90°) a azimut ( A = 0 až 360°).

Abychom mohli uskutečnit jednoduché měření azimutu a výšky objektu na obloze, sestrojíme si k tomuto účelu jednoduchý přístroj.

Obr. 7: Obzorníkové souřadnice, azimut (A) a výška (h) hvězdy (O): N) zenit, p) místní poledník, S, J, V, Z jsou světové strany.

Především si vyrobíme z překližky kruhovou destičku s průměrem přibližně 25 cm a další destičku (kvadrant), která bude mít tvar čtvrtkruhu s poloměrem 15 cm. Na tyto destičky přilepíme úhloměrné stupnice (0 až 360° a 0 až 90°), které si můžeme narýsovat na papír nebo jednoduše zvětšit na kopírce z připojeného obrázku. Na stejnou stranu kvadrantu, při které končí úhloměrná stupnice (90°), nasadíme dvě zaměřovací destičky (vizíry), které mají na spodním konci zářez pro upevnění na kvadrantu a na opačném konci kruhovitý otvor. Tímto zařízením budeme sledovat hvězdu při měření její výšky nad obzorníkem

Obr. 8: Úhloměrné stupnice kvadrantu (0°až 90°) a azimutu (0°až 360°).

Destičku s menším (5 mm) otvorem umístíme ke stupnici, destičku s větším (18 mm) otvorem na opačném konci hrany kvadrantu. Abychom mohli objekt přesně zaměřit, do většího otvoru upevníme vláknový kříž např. z tenkých drátků. Tento zaměřovací systém můžeme nahradit trubičkou s průměrem přibližně 15 mm a otvorem 5 mm při stupnici a s vláknovým křížem na opačném konci. Upevníme ji dvěma pásky plechu na hranu kvadrantu.

Přibližně 10 mm pod vrcholem, který tvoří hrany kvadrantu, provrtáme otvor pro šroub, kterým upevníme kvadrant ke svislé ose kruhového průřezu s průměrem přibližně 25 mm při jejím horním konci. Vyhovujícím materiálem pro tuto součástku je PVC (trubky pro vodoinstalaci), případně je možné použít trubici z lehké kovové slitiny. Délka této osy je přibližně 400 mm. Šroub, který bude procházet osou a kvadrantem, upevníme křídlovou maticí, abychom mohli kvadrant při měření snadno uvolnit, zaměřit potřebným směrem a potom ve zvolené poloze upevnit.

Obr. 9: Součásti stativu pro měřící přístroj: A) noha stativu, B) trojramenný kříž pro upevnění nohou.

V ose kvadrantu (na spojnici jeho ramen a 45° stupnice) vyvrtáme asi 5 mm pod šroubem malý otvor. Provlečeme přes něj vlákno (např. pevnou nit), na vnější straně ho upevníme uzlem a na vnitřní straně se stupnicí ho spustíme přibližně 50 mm pod okraj kvadrantu a zatížíme ho malým dostatečně těžkým předmětem, aby vlákno bylo stále napnuté ve svislém směru. Při měření výšky hvězdy nám bude vlákno ukazovat na stupnici, kolik stupňů nad obzorníkem se nachází objekt, který vidíme uprostřed vizíru.

Dále si připravíme stojan pro náš měřící přístroj. Jeho základem bude trojramenný kříž z tvrdého dřeva. Na jeho ramena připevníme delšími šrouby tři nohy. Každou z nich tvoří dvě laťky přibližně 140 cm dlouhé a 15 mm široké, vyztužené třemi příčnými spojkami a na konci spojené zašpičatělým dřevěným hranolem. Nohy na kříži můžeme upevnit křídlovou maticí. Po jejím povolení postavíme nohy do potřebné polohy a potom matici opět přitáhneme. Na trojramenný kříž stativu upevníme šrouby ještě dřevěný válec přibližně 50 mm vysoký. Do středu tohoto válce a kříže provrtáme otvor o něco většího průměru, než je průměr osy kvadrantu. Osa se musí v této válcové dutině volně otáčet, nesmí se však kývat do stran. Hladký chod tohoto ložiska zlepšíme, když třecí plochy mírně potřeme parafínem. Dále na osu upevníme ukazovatel. Je to prstenec ze dřeva nebo z plastu, který nese zašpičatělý plíšek nebo kovovou paličku s hrotem. Směr ukazovatele musí být shodný se směrem vizíru našeho kvadrantu. Prstenec upevníme na osu šroubem nebo ho přilepíme nad spodním koncem osy ve vzdálenosti, která se rovná přibližně délce válcového ložiska v hlavě stativu, šířce kruhové destičky se stupnicí pro azimut a její podložky. Osa prochází otvorem ve stupnici pro azimut a je v něm volně otočná. Prstenec s ukazovatelem je na horní ploše stupnice azimutu a zabraňuje tomu, aby se osa nepropadala otvorem v hlavě stativu. Na vrchní ploše válcové části stojanu je malými šrouby upevněna plechová kruhová destička. Její průměr je větší než průměr válcové části stojanu a menší než průměr stupnice pro azimut. Tato plechová část slouží na zachycení aretačního zařízení, kterým upevníme stupnici v potřebné poloze, do které jsme ji předtím správně orientovali podle světových stran. Toto zařízení tvoří kovový pásek ve tvaru písmene J. Který je upevněný na spodní straně stupnice tak, aby šrouby, které ho upevňují, byly mimo obvodové části s vyznačenou stupnicí bližší ke středu.

Obr. 10: Jednoduchý přístroj pro měření úhlů (výšky a azimutu). I. Kvadrant na měření výšky objektu nad obzorem (boční pohled): A) upevňovací šroub, B) svislé vlákno vyznačující naměřený úhel, C) kvadrant se stupnicí, D)osa kvadrantu, E) vizíry (umístěné na kvadrantu), II. Spodní část přístroje: D) osa kvadrantu, F) prstenec s ukazovatelem úhlových údajů, G) destička se stupnicí pro azimut (ø 25 cm), H) podložka, I) plechový disk, J) dřevěný válec upevněný na kříži stativu, K a L jsou nohy stativu, E) přední a zadní destička s otvory vizíru a s vláknovým křížem, III. Detail aretačního zařízení pro upevnění stupnice azimutu v potřebné poloze: M) šroub upevňující aretační zařízení k destičce se stupnicí azimutu, G) destička se stupnicí, H) podložka, I) plechová kruhová destička, N) nosník aretačního zařízení, O)šroub aretačního zařízení (přitlačuje plechovou destičku ke stupnici azimutu, a tak ji upevňuje v potřebné poloze).

Aretační zařízení umístíme tak, aby plechová destička procházela v těsné blízkosti jeho delšího ramene a aby se stupnice azimutu mohla nad destičkou volně otáčet. Šroubem v kratším rameni můžeme snadno přitlačit okraje destičky k delšímu rameni aretačního zařízení, a tak stupnici azimutu upevnit v potřebné poloze, aby se při otáčení osy s kvadrantem při vlastním měření už nepohybovala a zůstala správně orientovaná podle světových stran. Pro hladký a přesný chod zařízení je ještě potřeba položit pod destičku stupnice kruhový disk s otvorem větším než je průměr osy. Jeho šířka musí přibližně souhlasit s šířkou ramene aretačního zařízení. Může být vyroben z kousku podlahové krytiny (linolea) nebo z podobného materiálu. Má zabezpečit správnou polohu plechové destičky mezi rameny aretace.

Na začátku každého měření musíme stupnici azimutu orientovat podle světových stran. Uděláme to nejjednodušeji tak, že kvadrant přístroje namíříme na Polárku, kterou musíme vidět uprostřed jeho vizíru. Potom otočíme stupnicí azimutu tak, aby ukazovatel na prstenci splynul se značkou pro 180° (S). Stupnici upevníme v této poloze ke stativu aretačním zařízením, aby se nám při dalších pohybech osy neměnila jeho poloha.

Když jsem změřili výšku a azimut dvou objektů, můžeme ze zjištěných úhlů vypočítat jejich úhlovou vzdálenost (α) (viz vzorec 4).

V případě, že je vzdálenost obou objektů velmi malá, použijeme jiný vzorec (viz vzorec 5).

Kde A = A1 – A2.

Pro určení polohy neznámého objektu potřebujeme změřit jeho úhlovou vzdálenost od dvou hvězd uvedenou metodou a nanést ji kružítkem do mapy. Jak jsme si již ukázali, poloha objektu je potom dána průsečíkem nanesených úhlových vzdáleností.

Pokud bychom chtěli určit polohu určitého tělesa na obloze jen z naměřené výšky a azimutu, je i takový postup možný. Pro vlastní, o něco náročnější výpočet, je však nutné znát ještě čas měření a zeměpisnou polohu místa. Z těchto údajů potom lze vypočítat polohu pozorovaného objektu v systému II. rovníkových souřadnic t. j. jeho rektascenzi a deklinaci.

původní článek by publikován v Astronomické ročenke (SK) v roce 2002
úprava textu: Petra Váňová, Jihlavská astronomická společnost

Teleskopie: Seriál Jihlavské astronomické společnosti poskytuje cenné rady o konstrukcích astronomických přístrojů v amatérských podmínkách. Autorem seriálu je doc. RNDr. Ivo Zajonc, CSc., autor mnoha publikací nejen o astronomické technice.

Články ze seriálu TELESKOPIE byly v minulých letech postupně uveřejňovány v Astronomické ročenke vydávané Slovenskou ústrednou hvezdárňou v Hurbanove - http://www.suh.sk. Děkujeme vedení tohoto ústavu za souhlas se zveřejněním těchto aktualizovaných příspěvků na webu Jihlavské astronomické společnosti - jiast.cz a České astronomické společnosti astro.cz.

 

 

 

 

 

 

•