Úvodní strana  >  Články  >  Kosmonautika  >  Co to jsou kosmické rychlosti?

Co to jsou kosmické rychlosti?

Kosmické rychlosti. Zdroj: Fyzika.jreichl.com.
Kosmické rychlosti. Zdroj: Fyzika.jreichl.com.
V souvislosti s rozvojem kosmonautiky (podle ruské terminologie; americká terminologie pracuje s pojmem "astronautika", což považuji za méně vhodné, neboť ke hvězdám se nelétá, kdežto do kosmu ano) je pojem "kosmická rychlost" i neodborníku blízká, avšak pravděpodobně by ji nedokázal definovat, nehledě k tomu, že "kosmických rychlostí" je více a navíc pro ně existují častěji užívaná synonyma. Také jejich hodnoty nejsou pravděpodobně každému zájemci vždy známy. Cílem tohoto příspěvku je připomenout jejich smysl, velikosti a zejména objasnit, jak se k uvedeným hodnotám dospěje.

K tomuto cíli je třeba uvést související fyzikální pojmy a důležité hodnoty.

1. Pojmy z mechaniky

1.1. Potenciální (polohová) energie. Tělesu o hmotnosti m, které se nalézá v homogenním tíhovém poli s tíhovým zrychlením g ve výšce h nad zvolenou základní rovinou přísluší potenciální energie

Ep = mgh,

která se při volném pádu (bez odporu vzduchu) mění na jiný druh energie:

1.2. Kinetická (pohybová) energie.. Těleso o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v má kinetickou energii

Ek = mv2/2,

Tato se může také měnit na jiné druhy energie včetně nemechanických (např. tepelnou).

1.3. Pohyb tělesa o hmotnosti m po kružnici o poloměru r je zapříčiněn dostředivou silou o velikosti

Fd = mv2/r,

2. Pojmy z teorie gravitačního pole

2.1. Newtonův gravitační zákon: Každá dvě tělesa na sebe působí stejně velkými opačnými gravitačními silami. V případě, že tělesy jsou tuhé, stejnorodé koule o hmotnostech m1, m2, je velikost těchto sil udána vztahem

Fg = κm1m2/r2,

kde r je vzdálenost středů těchto koulí a κ = (6,67428 ± 0,00067).10-11 N.m2.kg-2 (nebo také m3.kg-1.s-2) je Newtonova gravitační konstanta.

2.2. Potenciální energie tělesa v centrálním gravitačním poli. Centrální gravitační pole je vytvořeno tuhou homogenní koulí. V tom případě se nedá potenciální energie tělesa v tomto poli vypočítat podle vztahu v bodě 1.1, nýbrž podle vztahu

Ep = -κm1m2/r,

Na rozdíl od předešlých vztahů se tento ve středoškolské fyzice nezavádí, neboť je odvoditelný pouze integrací. Přitom je stanoveno dohodou, že dvě nekonečně vzdálená tělesa mají nulovou potenciální energii. Proto nás nesmí překvapit, že potenciální energie soustavy přitahujících se těles je záporná. S rostoucí vzdáleností těles roste Ep směrem k nule.

3. Pojmy z teorie gravitačního pole

3.1. Země: Hmotnost mZ = 5,9736.1024 kg
Poloměr rZ = 6,371.106 m (Zemi považujeme za kouli)
Poloměr kruhové dráhy Země je RZ = 1,496.1011 m
Součin κmZ = 3,987.1014 m3.s-2

3.2. Slunce:

Hmotnost mS = 1,9891.1030 kg
Součin κmS = 1,3276.1020 m3.s-2

4. Kosmické rychlosti
Tyto pojmy mají čistě teoretický význam, neboť při jejich zavádění zanedbáváme tyto skutečnosti: Ve všech případech existenci zemské atmosféry, v případě pohybů kolem Země také existenci Slunce. Rovněž zanedbáváme hmotnost obíhajícího tělesa (tedy obvykle družice) vůči hmotnosti tělesa centrálního.

4.1. První kosmická rychlost vI. Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby se družice Země o hmotnosti m udržela na kruhové dráze těsně při povrchu Země. Výchozím vztahem je tvrzení, že dostředivá síla je představována silou gravitační, tedy

Fd = Fg

a po dosazení podle výrazů z 1.3 a 2.1

mvI2 = κmZm/rZ2

což vede k výsledku

vI = √(κmZ/rZ)

Dosadíme-li pak číselné hodnoty z 3.1, máme

vI = 7,911.103 m.s-1

Místo "první kosmické rychlosti" se používá pojem "rychlost kruhová" při povrchu Země (vk). Uvedený postup je běžně uváděn ve středoškolské fyzice.

4.2. Druhá kosmická rychlost vII. Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby družice opustila natrvalo gravitační pole Země (existence Slunce se neuvažuje). Jinými slovy - družice je schopna odletět od Země do nekonečna, kde se teprve může "zastavit". Podle 2.2 je její potenciální energie v nekonečnu nulová, kinetická rovněž, tedy součet obou je nulový, což ovšem musí platit na celé trajektorii (zákon zachování mechanické energie), tudíž i při startu s povrchu Země:

Ek + Ep = 0

tedy

mvII2/2 - κmZm/r = 0.

Řešením rovnice obdržíme

vII = √(2κmZ/rZ) = vI√2.

Po dosazení číselných hodnot máme

vII = vI√2 = 11,19.103 m.s-1.

Poněvadž družice teoreticky odlétá po parabolické trajektorii, nazývá se nyní vII "parabolickou rychlostí" při povrchu Země nebo rychlostí únikovou(vp). Její hodnota se ve středoškolské fyzice "předkládá k věření" (pro nemožnost odvození výrazu pro Ep).

5. Rychlosti při pohybu kolem Slunce
Pro zavedení třetí kosmické rychlosti je třeba nejprve vypočítat kruhovou a parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce.

5.1. Kruhová rychlost

vk = √(κmS/rZ) = 29,79.103 m.s-1

To je také průměrná rychlost Země (její hmotnost se v této úvaze zanedbává vůči hmotnosti Slunce) při oběhu kolem Slunce.

5.2. Parabolická rychlost

vp = vk√2 = 42,13.103 m.s-1

6. Třetí kosmická rychlost vIII
Jedná se o rychlost, kterou musíme udělit družici na povrchu Země, aby opustila trvale Sluneční soustavu (vliv planet neuvažujeme). V tomto případě jsou úvahy poněkud odlišné.

Především je při vypouštění družice optimální využít rychlost Země. Budeme ji tedy vypouštět (opět jen teoreticky) ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není nutno udílet rychlost 42,13 km.s-1, ale pouze (42,13 - 29,79) km.s-1 = 12,34 km.s-1. To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické rychlosti. Dostáváme:

vIII = √2(12,342 + 11,192) km.s-1 = 16,66.103 m.s-1

Vzhledem k složitější povaze věci se třetí kosmická rychlost ve středoškolské fyzice nezavádí.




O autorovi

Miroslav Šulc

Miroslav Šulc

Narozen 1941, v roce 1963 promoval na přírodovědecké fakultě Univerzity J. E. Purkyně (dříve a nyní Masarykova univerzita) v oboru matematika-fyzika (s titulem promovaný fyzik-učitel). Od té doby zaměstnán jako učitel na střední škole. Od r. 1954 do r. 1986 externí spolupracovník brněnské hvězdárny. Od r. 1959 člen České astronomické společnosti. Od r. 1996 hospodář výboru SMPH. Od r. 2006 v definitivním důchodu.



39. vesmírný týden 2016

39. vesmírný týden 2016

Přehled událostí na obloze od 26. 9. do 2. 10. 2016. Měsíc bude v novu. Venuše, Mars a Saturn najdeme večer stále jen nízko nad obzorem. Neptun a Uran můžeme pozorovat celou noc. Na ranní obloze můžeme před svítáním pozorovat kužel zvířetníkového světla do něhož před východem Slunce stoupá planeta Merkur a bude zde také srpek Měsíce.

Další informace »

Česká astrofotografie měsíce

Pradědovy Perseidy 2016

Píše se rok 258, 10. srpen. Na rošt nad horké uhlí je položen správce chrámové pokladny před několika dny popraveného papeže Sixta II a je opékán zaživa. Po chvíli volá: „Z jedné strany jsem již opečený, pokud mě chcete mít dobře udělaného, je čas mě otočit na druhou stranu.“ Toto utrpení podstoupil

Další informace »

Poslední čtenářská fotografie

Venuše

Další informace »