Zobrazování hvězdné oblohy - díl čtvrtý

2.2. Zobrazení válcová

V základní poloze se válcová plocha (pokud je tečná) dotýká rovníku. Tehdy kartografické poledníky splývají s deklinačními kružnicemi, totéž platí o rovnoběžkách. Poloha bodů na mapě je určena souřadnicemi x, y, pro něž platí

x = R.arcα,

jestliže je obraz rovníku délkojevný (α je rektascenze) a počátek souřadné soustavy je v jarním bodě;

y = R.f(δ).

Při výpočtu zkreslení porovnáváme délky rovnoběžek 2πRcosδ s délkou jejich obrazů, kdežto poledníkové zkreslení vypočteme derivací funkce f podle deklinace.

2.2.1. Válcové zobrazení čtvercové (Marinovo)

Jedná se o zobrazení, v němž rovník a deklinační kružnice zachovávají svoji délku. Rovnoběžky ovšem délkojevné nejsou. Platí

y = R.arc.α

Pro zkreslení platí

k_r = cos^-1δ

k_p = 1

Zobrazení lze zařadit mezi vyrovnávací. Není opět zobrazením v matematickém smyslu, neboť obrazy pólů jsou úsečky.

Zobrazení hlavní kružnice:
Rovnice hlavní kružnice procházející jarním bodem se sklonem i k rovníku zní:

y = arctg[tgi.sin(x/R)],

takže obraz hlavní kružnice lze považovat za sinusoidu do té hodnoty sklonu, do jaké lze zanedbat rozdíly mezi velikosti úhlu v radiánech a funkcí tangens úhlu.

Užití:
Uvedené zobrazení je v astronomických mapách užíváno běžně pro zobrazení rovníkových oblastí Setkáme se s ním např. u Bečvářových atlasů (Atlas eclipticalis, Atlas coeli).

2.2.2. Válcové zobrazení Mercatorovo

Je to patrně nejznámější válcové zobrazení, používané hlavně pro mapu světa, třebaže v základní poloze nelze zobrazit polární oblasti. Souřadnice y je určena vztahem

y = R.ln[cotg(p/2)],

kde symbol ln (logaritmus naturalis = přirozený logaritmus) je logaritmus při základu e = 2,71828182 (Eulerovo číslo), p je pólová vzdálenost. Z rovnice plyne, že vzdálenosti rovnoběžek rostou s deklinací. Zkreslení jsou

k_p = k_r = cos^-1δ

a mapa je tudíž úhlojevná. Tato vlastnost je však vykoupená velkým zkreslením ploch, které směrem k pólům narůstá do nekonečna. Pól se zobrazí jako úsečka ležící v nekonečnu.

V minulosti měl tento druh zeměpisných map velký význam pro nautiku, neboť umožňoval stanovení kurzu plavby se stálým azimutem podél trasy (tato trajektorie se nazývá loxodroma a není částí hlavní kružnice, tedy není nejkratší spojnici místa vyplutí a cíle).

Zobrazení hlavní kružnice:
Za výše uvedeného předpokladu je hlavní kružnice zobrazena čarou o rovnici

y = R.ln{cotg[π/2-arctg(tg i.sin(x/R))]/}

Užití:
Použití této mapy je patrně vzácné, našel jsem ho pouze v Lovellově Meteorické astronomii.

Reference
[1] Budějický J., Plavcová Z., Plavec M., Radioastronomie (ČSAV, Praha 1962)
[2] Internet, www.wikipedia.org
[3] Lovell B., Meteornaja astronomija (Moskva 1958)
[4] Rükl A., Constelations et Planetes (Gründ, Paříž 1988)
[5] Rükl A., soukromé sdělení
[6] Šulc M., Povídání o mapách, KR 1997, No 2, No 3, KR 1998, No 1.