Zobrazování hvězdné oblohy - díl první

1. Obecná část

1.1. Glóbus a mapa

Pojmem glóbus označujeme kulový model zobrazovaného tělesa nebo hvězdné oblohy. Mapa je zobrazení povrchu glóbu do roviny. Zobrazit povrch glóbu do roviny lze provést nekonečně mnoha způsoby, z nichž jeden je vyloučený: povrch glóbu nelze do roviny rozvinout. Proto se mapa tvoří zobrazením povrchu glóbu na rovinu tečnou ke glóbu, nebo na plochu do roviny rozvinutelnou, což může být plocha válcová, která je ke glóbu tečná nebo sečná či plocha kuželová, která opět může být ke glóbu tečná nebo sečná.

Některá zobrazení lze získat promítáním povrchu glóbu na plochu. Častější případ zobrazení je převedení souřadnic kulových na souřadnice jiného druhu (např. na polární nebo pravoúhlé) pomocí vzorců, někdy dosti složitých. Některá zobrazení naopak nejsou zobrazením v matematickém smyslu, neboť se v nich bod (obvykle pól) zobrazuje jako čára.

Základní (normální) poloha tečné roviny glóbu je poloha pólová, kdy bodem dotyku je pól glóbu. V poloze příčné (rovníkové) leží bod dotyku na rovníku glóbu, v poloze obecné se nachází kdekoliv.

Válcová plocha v základní poloze má osu rovnoběžnou s osou glóbu (procházející póly), v poloze příčné je osa válcové plochy kolmá k ose glóbu, v poloze obecné má obecný směr. Totéž platí pro plochu kuželovou.

1.2. Měřítko mapy a zkreslení.

Glóbus je charakterizován svým poloměrem R, na němž pak závisí měřítko mapy.

Při zobrazování velmi malé kruhové plošky na povrchu glóbu, jejíž poloměr je dr, je výsledkem zobrazení nepatrná elipsa, neboť při zobrazení dojde ke zkreslení. Poloměr plošky ve směru poledníku (v případě nebeské sféry deklinační kružnice) se zkreslí na úsečku velikosti k_p.dr, ve směru rovnoběžkovém na úsečku velikosti k_r.dr. Součinitel k_p se nazývá zkreslení poledníkové, součinitel k_r zkreslení rovnoběžkové. V důsledku těchto zkreslení se na mapě obecně nezachovávají velikosti délek, ploch a úhlů. Mohou však nastat zvláštní případy:

1. Právě jeden z obou koeficientů je roven 1. Pak deklinační kružnice nebo rovnoběžka zachovávají při zobrazování svoji délku a příslušná čára je délkojevná (ekvidistantní).
2. Součin k_p.k_r = 1. V tomto případě jsou nezkresleny velikosti ploch a mapa je plochojevná (stejnoplochá, ekvivalentní).
3. Platí k_p = k_r. V tomto případě se zachovávají velikosti úhlů a mapa je úhlojevná (konformní). Zachovává se vzhled tvarů.
4. Hodnoty obou zkreslení se blíží jedné, pak jde o mapu vyrovnávací.

Z uvedeného vyplývá, že mapa nemůže být délkojevnou. Při zobrazování nepatrných oblastí lze však křivost glóbu zanedbat a pak není třeba uvažovat zkreslení vůbec.

Uvedené poznatky se běžně vyskytují v učebnicích zeměpisu pro střední školy a obrazově jsou vyjádřeny ve školních atlasech světa.

2. Speciální část - druhy zobrazení

Z teoreticky nekonečně možných druhů zobrazení se v kartografii užívá kolem osmdesáti.

Je samozřejmě nemyslitelné, abychom je zde všechna uváděli, dokonce se nebudeme zmiňovat ani o všech těch, která jsou běžná v kartografii Země, ale omezíme se na ta, která se používají při zobrazování hvězdné oblohy nebo kosmických těles.

2.1. Zobrazení azimutální

Azimutální zobrazení je zobrazením do tečné roviny glóbu(případně na tečnou rovinu). Základní polohou tečné roviny je poloha pólová. V této poloze splývají poledníky (deklinační kružnice) glóbu s poledníky kartografickými a rovnoběžky glóbu s rovnoběžkami kartografickými. V této poloze jsou obrazy rovnoběžek vždy kruhové, obrazy deklinačních kružnic vždy přímkové.

2.1.1. Zobrazení ortografické

Toto zobrazení je kolmým promítáním povrchu glóbu do tečné roviny. V základní poloze jsou obrazy rovnoběžek nezkreslené (k_r = 1), neboť poloměr kružnice s pólovou (úhlovou) vzdáleností p i jejího obrazu je

r = R.sinp

Chceme-li zjistit zkreslení poledníkové, je třeba si uvědomit, že tečna deklinační kružnice dotýkající se glóbu v bodě s pólovou vzdáleností p svírá s průmětnou tentýž úhel a délkový element poledníku velikosti R.dp se promítá jako délkový element dr. Je tedy

dr = k_p.R.dp

a proto je

k_p = 1/R .dr/dp,

což v azimutálním zobrazení platí obecně. V zobrazení ortografickém je proto

k_p = cosp.

Skutečně, na pólu (p = 0°) je poledníkové zkreslení 1, na rovníku 0 (úsečka na rovníku ve směru poledníku se promítá jako bod). Zobrazit lze jen jednu polokouli.

Zobrazení hlavní kružnice:
Označme nadále pól glóbu, který je dotykovým bodem průmětny, jako P_G. Položme si otázku, co bude obrazem hlavní kružnice glóbu, jejímž pólem je bod P se sférickými souřadnicemi [R, α, p]. Odpověď je snadná. Bude to elipsa s hlavní poloosou R a vedlejší poloosou R.cosp. Obrazem pólu P bude P' s polárními souřadnicemi [α, Rsinp]. Vedlejší poloosa elipsy bude ležet na přímce PGP'. Zobrazí se ovšem jen polovina hlavní kružnice. Jedná se o afinní zobrazení. I vedlejší kružnice se zobrazí jako elipsy.

Zobrazení v příčné poloze:
V příčné poloze jsou obrazy kružnic stejné deklinace (rovnoběžek) úsečky, obrazy deklinačních kružnic (poledníků) elipsy, vyjma středního, který je přímkový.

Užití:
Tohoto zobrazení se používá pro mapy kosmických těles, mají-li zobrazit těleso tak, jak je vidět v dalekohledu. Příkladem může být známá Andělova mapa Měsíce.

Reference
[1] Budějický J., Plavcová Z., Plavec M., Radioastronomie (ČSAV, Praha 1962)
[2] Internet, www.wikipedia.org
[3] Lovell B., Meteornaja astronomija (Moskva 1958)
[4] Rükl A., Constelations et Planetes (Gründ, Paříž 1988)
[5] Rükl A., soukromé sdělení
[6] Šulc M., Povídání o mapách, KR 1997, No 2, No 3, KR 1998, No 1.