Úvodní strana  >  Články  >  Vzdálený vesmír  >  Výzkumy v ASU AV ČR (167): Nová metoda výpočtu gravitačního pole toroidů

Výzkumy v ASU AV ČR (167): Nová metoda výpočtu gravitačního pole toroidů

Vlevo umělecká představa plynné toroidální struktury obklopující jádro galaxie M77. Její podoba vznikla rekonstrukcí na základě radiových měření orbitální rychlosti plynu. Ve vesmíru nacházíme mnoho podobných útvarů. Toroidální geometrie je pravděpodobně druhá nejběžnější podoba kosmických těles hned po sférických hvězdách a planetách. Přesto je přesný výpočet gravitačního pole torů v mnohém dosud otevřená úloha (ilustrace: ALMA). Na snímku vpravo je zachycen torus v jádru galaxie NGC 4261 vyfotografovaný Hubbleovým kosmickým teleskopem (snímek: ESA/NASA).

Vladimír Karas z ASU je součástí týmu, který publikoval teoretickou práci zabývající se výpočtem gravitačního pole v okolí těles s tvarem toroidu. Výsledky umožní výrazně zrychlit a zpřesnit výpočty pohybů částic v blízkosti těles s geometrickými vlastnostmi akrečních disků a v protoplanetárních strukturách. Publikace uveřejněná časopisem britské Královské astronomické společnosti vznikla ve spolupráci českých a francouzských autorů.

Často v našem seriálu poukazujeme na práce, v nichž se daří dnes obvyklý přístup numerického výpočtu s pomocí počítačů nahradit matematickým výpočtem s „tužkou a papírem“, což vede k velmi cenné analytické formulaci problému. Je téměř příznačné, že první z autorů studie, dr. Jean-Marck Huré, je profesorem na univerzitě v Bordeaux. Zejména ve Francii sahá tradice pečlivých matematických studií až k velikánům vědy 18. a 19. století, jako byl matematik, fyzik a astronom Pierre-Simon Laplace. I dnešní teoretická fyzika zná mnoho dosud nevyřešených úloh, které svou formulací náleží do klasické fyziky minulých století, avšak s velkým praktickým přesahem do dnešní počítačové éry. Jedním z příkladů je přesné a efektivní určení gravitačního pole astronomických těles.

Rozdíl mezi numerickým a analytickým řešením je nabíledni. Oba přístupy vedou k vyřešení problému popsaného fyzikálními rovnicemi, avšak z velice odlišného úhlu pohledu. Zatímco analytické řešení vzniká manipulací výrazů v rovnicích, řešení numerické spoléhá na číslicovou reprezentaci rovnic v počítači, tedy převodu spojitých veličin do diskrétních hodnot s konečnou přesností. Fyzikální rovnice často obsahují matematické operátory, např. derivace nebo integrály, které musí být v případě numerické reprezentace nahrazeny rozdíly (diferencemi) nebo sumami. Analytická řešení – na rozdíl od těch numerických – netrpí kumulací zaokrouhlovacích chyb, které jsou v počítačové reprezentaci vždy nevyhnutelně přítomny. 

V astrofyzice je dlouhodobým nevyřešeným problémem výpočet potenciálu gravitační síly v systémech s toroidální geometrií. Torus je odborným výrazem pro těleso, které vznikne rotací kružnice kolem bodu mimo kružnici. Lidově řečeno – pneumatika s kruhovým průřezem „duše“. Ve vesmíru nacházíme tělesa s podobnou geometrií často; popisují útvary od protoplanetárních disků po struktury na škálách galaxií. Znalost potenciálu gravitační síly umožňuje vypočítat, jak se budou testovací částice v okolí takových těles pohybovat. To je důležité nejen pro popis problému per se, ale především k diskusi o vzniku, vývoji a stabilitě těchto toroidálních struktur. 

Popsat gravitační potenciál toroidů analyticky je velmi komplikované, a tak odborníci při řešení těchto problémů nezřídka raději přistupují k využití řešení numerického. Narážejí však na omezení dané diskretizací. Výpočty trvají dlouho, není možné studovat současně dění na malých a velkých prostorových škálách, protože to není v silách ani těch nejmodernějších počítačů, numerické nepřesnosti neumožňují dlouhodobě studovat dynamický vývoj. 
Představovaný článek šel cestou elegantního analytického řešení problému. Zdálo by se, že „tužka a papír“ nemají v moderní vědě své místo, že jde o metody dávno překonané silou dnešních počítačů. Autoři však ukazují, že pokud se najde analytické řešení, jehož tvar lze navíc volit s ohledem na požadavek na přesnost, řešení fyzikálního problému se rázem posune o výrazný kus dopředu. 

Analytické řešení vyjádřili autoři ve formě nekonečné řady. Tato matematická metoda nahrazuje obecnou matematickou funkci součtem řady jiných, jednodušších příspěvků s různými koeficienty. Metoda rozvoje do řady je při řešení složitých problémů běžná a uživatelé se s ní setkávají, aniž by tušili, že se v pozadí používá. Tak například běžný grafický formát JPEG pro ukládání fotografií „šetří“ místo tak, že reálný obraz převádí na součet řady harmonických funkcí typu kosinus s různými frekvencemi a „kvalita“ komprese přímo souvisí s počty členů řady, které se použijí. Použije-li se jen několik málo prvních členů řady a ostatní se odříznou, ušetříme místo na disku, výsledný rekonstruovaný obraz ale nebude kvalitní a bude trpět artefakty. Dobře to zná každý, kdo fotografuje a obraz zpracovává. 

Ve fyzikálních problémech je to podobné: některá řešení ve formě rozvoje do řady vedou ke vzniku artefaktů. V literatuře zabývající se hmotnými toroidy nacházíme i taková řešení, která produkují nechtěný „šum“ nebo generují „hmotu“ v místech, kde by být neměla. Autoři představovaného článku však nalezli řešení, které zmíněnými artefakty netrpí. O to je jeho vědecká hodnota vyšší. Jejich řešení má dokonce tu vlastnost, že jednotlivé členy řady plní kýžené fyzikální rovnice každý zvlášť v odpovídajícím řádu. 

Autoři nalezené řešení důkladně otestovali jednak proti přesným analytickým řešením jednodušších problémů a také numericky v případě problémů složitějších. V rámci práce dále poukazují, že je jejich způsob řešení použitelný i na obecnější systémy. Nejen na duté toroidy, ale také na toroidy plné a dokonce i toroidy plné s hustotním rozvrstvením. Takové systémy jsou ve vesmíru opět běžné, kdy je hustota uprostřed toroidu nejvyšší a směrem ven klesá. Cena prezentovaného řešení v závěrečných kapitolách článku ještě stoupla, když autoři ukazují, že podobnou technologii lze použít na analytický výpočet magnetického pole toroidu, kterým protéká elektrický proud. 

Analytická řešení jsou velmi výhodná při popisu fyzikálních problémů. Se zvyšováním složitosti studovaných systémů ovšem klesá množství příležitostí analytické řešení nalézt. O to cennější jsou pak práce, které i v 21. století jdou tímto směrem a skutečně dorazí ke kýženému cíli.  

REFERENCE

J.-M. Huré, B. Basillais, V. Karas, A. Trova, & O. Semerák, The exterior gravitational potential of toroids, Montly Notices of the Royal Astronomical Society 494 (2020) 5825-5838, preprint arXiv:2005.08507

KONTAKTY

prof. RNDr. Vladimír Karas, DrSc.
vladimir.karas@asu.cas.cz
Oddělení galaxií a planetárních systémů Astronomického ústavu AV ČR

Zdroje a doporučené odkazy:
[1] Oddělení galaxií a planetárních systémů ASU

Převzato: Astronomický ústav AV ČR, v. v. i.



O autorovi

Michal Švanda

Michal Švanda

Doc. Mgr. Michal Švanda, Ph. D., (*1980) pochází z městečka Ždírec nad Doubravou na Českomoravské vrchovině, avšak od studií přesídlil do Prahy a jejího okolí. Vystudoval astronomii a astrofyziku na MFF UK, kde poté dokončil též doktorské studium ve stejném oboru. Zabývá se sluneční fyzikou, zejména dynamickým děním ve sluneční atmosféře, podpovrchových vrstvách a helioseismologií a aktivitou jiných hvězd. Pracuje v Astronomickém ústavu Akademie věd ČR v Ondřejově a v Astronomickém ústavu Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, kde se v roce 2016 habilitoval. V letech 2009-2011 působil v Max-Planck-Institut für Sonnensystemforschung v Katlenburg-Lindau v Německu. Astronomií, zprvu pozorovatelskou, posléze spíše „barovou“, za zabývá od svých deseti let. Před začátkem pracovní kariéry působil v organizačním týmu Letní astronomické expedice na hvězdárně v Úpici, z toho dva roky na pozici hlavního vedoucího. Kromě astronomie se zajímá o letadla, zejména ta s více než jedním motorem a řadou okýnek na každé straně. Více o autorovi na jeho webových stránkách svanda.astronomie.cz.

Štítky: Akreční disk, Plynný torus, Astronomický ústav AV ČR


44. vesmírný týden 2020

44. vesmírný týden 2020

Přehled událostí na obloze a v kosmonautice od 26. 10. do 1. 11. 2020. Měsíc bude v úplňku. Večer jsou nízko nad jihozápadem Jupiter a Saturn, během noci stoupá vysoko Mars. Ráno je vidět jasná Venuše. Aktivita Slunce je nízká. Zajímavé pohledy na komety stále nabízí druhá polovina noci. V minulém týdnu úspěšně dosedla kabina Sojuzu MS-16 s třemi kosmonauty. SpaceX završila stovku úspěšných startů do vesmíru. NASA potvrdila úspěšný odběr vzorků z asteroidu Bennu, ale odběrná nádoba není zcela uzavřena, možná je přeplněná. Před 100 lety byla objevena první „kentauří“ planetka Hidalgo.

Další informace »

Česká astrofotografie měsíce

LBN468 Temná a reflexní mlhovina škorpion

  Titul Česká astrofotografie měsíce za září 2020 získal snímek „LBN468 - temná a reflexní mlhovina v Cefeovi“, jehož autorem je Tomáš Zábranský   Na naší obloze je několik souhvězdí, která nikdy nezapadají. Jsou tak blízko nebeského pólu, že se ani při největší snaze během

Další informace »

Poslední čtenářská fotografie

M45

Canon Eos 550D modifikovaný Sigma DC 17-70mm SW EQ6-R PRO 31x3min 1600ISO F/4 70mm Deepskystacker, photoshop

Další informace »